试题

（2011·东营）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=

1

2

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEO=

1

2

．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），
∴B（-3，1），
若直线经过点A（-3，0）时，则b=

3

2

，
若直线经过点B（-3，1）时，则b=

5

2

，
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，如图1，
此时E（-2b，0），
∴S=

1

2

OE·CO=

1

2

×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，如图2
此时E（-3，b-

3

2

），D（2-2b，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）·（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
∴S=

b     ( 1＜b ≤ 3 2 ) 5 2 b-b2     ( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEO=

1

2

，
∴

DH

HE

=

1

2

，DH=1，
∴HE=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四边形DNEM}=NE·DH=

5

4

．
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

5

4

．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），
∴B（-3，1），
若直线经过点A（-3，0）时，则b=

3

2

，
若直线经过点B（-3，1）时，则b=

5

2

，
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，如图1，
此时E（-2b，0），
∴S=

1

2

OE·CO=

1

2

×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，如图2
此时E（-3，b-

3

2

），D（2-2b，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）·（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
∴S=

b     ( 1＜b ≤ 3 2 ) 5 2 b-b2     ( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为
四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEO=

1

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，
∴

DH

HE

=

1

2

，DH=1，
∴HE=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

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，
∴S_{四边形DNEM}=NE·DH=

5

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．
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

5

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．