试题

题目：
青果学院（2010·仙桃）如图，已知直线l：y=-
3
3
x+
3
交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB沿直线l翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=
k
x
(k＞0)上．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕AC的中点旋转180°得到△PCA，请判断点P是否在双曲线y=
k
x
上，并说明理由．
答案
解：（1）由△AOB≌△ACB，BC=OB，AC=AO，则令y=0，x=3；x=0，y=
3
，
即A（3，0）B（0，
3
）设C（x，y）
(3-x)2+y2=32
x2+(y-
3
)2=(
3
)2
，
解得：
x=
3
2
y=
3
3
2
，
代入双曲线k=xy=
9
3
4
；

（2）设AC中点为D，则D点坐标D为：x=
3+
3
2
2
=
9
4
，y=
0+
3
3
2
2
=
3
3
4
，
即（
9
4
，
3
3
4
），再设P点坐标（x，y）
x
2
=
9
4
y+
3
2
=
3
3
4

解得：
x=
9
2
y=
3
2
．
把坐标代入双曲线y=
9
3
4x
，等式成立，
故点P在双曲线上．
解：（1）由△AOB≌△ACB，BC=OB，AC=AO，则令y=0，x=3；x=0，y=
3
，
即A（3，0）B（0，
3
）设C（x，y）
(3-x)2+y2=32
x2+(y-
3
)2=(
3
)2
，
解得：
x=
3
2
y=
3
3
2
，
代入双曲线k=xy=
9
3
4
；

（2）设AC中点为D，则D点坐标D为：x=
3+
3
2
2
=
9
4
，y=
0+
3
3
2
2
=
3
3
4
，
即（
9
4
，
3
3
4
），再设P点坐标（x，y）
x
2
=
9
4
y+
3
2
=
3
3
4

解得：
x=
9
2
y=
3
2
．
把坐标代入双曲线y=
9
3
4x
，等式成立，
故点P在双曲线上．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）由△AOB≌△ACB求得C点坐标，代入双曲线即可求得k值；
（2）由B点找出关于AC中点的对称点即P点，得出P点坐标，判断是否在双曲线上．
此题考查的是一次函数的图象，其中用到了一点关于某点的对称点，同学们应注意掌握．
综合题．
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