试题

已知：如图，直线y₁=mx-3m与x轴交于点A，直线y₂=kx+b与y轴交于点C，两直线交于点B．
（1）点A的坐标为；
（2）若∠BCO与∠BAO互为补角，则两直线的位置关系为．
（3）在上述条件下，若AB=BC，△BCO的面积为7，求过点B的反比例函数的解析式．
（4）在上述条件下，若Q为x轴上的一点，且以A、B、C、Q四点为顶点的四边形为梯形，求点Q的坐标．

解：（1）令y₁=0，则x=3，
∴A点坐标是（3，0）；

（2）∵∠BCO与∠BAO互为补，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵四边形ABCO的内角和等于360°，∠O=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；

（3）设B点坐标是（c，d），过B分别向x、y轴做垂线段，交点分别F、E，
∵∠BCO与∠BAO互为补角，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵∠BAO+∠BAF=180°，
∴∠BCE=∠BAF，
在△BCE和△BAF中，
∵

∠BCE=∠BAF ∠BEC=∠BFA=90° AB=BC

，
∴△BCE≌△BAF，
∴BF=BE，CE=AF，
∴c=d，b-c=c-3，
∵S_△BCO=7，
∴

1

2

cb=7，b=2c-3，
解得

b=4 c= 7 2

或

b=-7 c=-2

（不合题意，舍去）
故B点坐标是（

7

2

，

7

2

），
那么过B点的反比例函数的解析式是y=

49

4x

（x＞0）；

（4）如右图，过点C作CQ∥AB，交x轴于点Q，
∵直线y₁=mx-3m过B点，
∴y₁=7x-21，
∵CQ∥AB，
∴过C、Q的直线可设为y=7x+f，
∵C点坐标是（0，4），
∴过C、Q的直线是y=7x+4，
令y=0，则x=-

4

7

，
∴Q点的坐标是（-

4

7

，0）．
过点B作BQ′∥AC，交x轴于Q′，
∵直线AC过A、C，
∴直线AC的解析式是y=-

4

3

x+4，
∵BQ′∥AC，
∴直线BQ′的解析式可设为y=-

4

3

x+b，
把（

7

2

，

7

2

）代入y=-

4

3

x+b中，得
b=

49

6

，
故直线BQ′的解析式是y=-

4

3

x+

49

6

，
令y=0，则x=

49

8

，
故Q′的坐标是（

49

8

，0）．
∴所求Q的坐标是（-

4

7

，0）或（

49

8

，0）．