试题

如图，直线OC，BC的函数关系式分别y₁=x和y₂=-x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜6），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？
（2）猜想△COB是什么三角形？并用所学的几何知识证明你的结论．
（3）设在△COB中位于直线m左侧部分的面积为S，求出S与x之间函数关系式？

解：（1）由题意得：

y=x y=-x+6

，
解得：

x=3 y=3

，
∴点C的坐标为（3，3）；
当x＞3时y₁＞y₂；

（2）△COB是等腰直角三角形．
证明：∵直线BC的解析式为：y₂=-x+6，
∴B（0，6），
∵直线OC的解析式为：y₁=x，
∴∠COB=45°，
∴OC=

32+32

=3

2

，BC=

(3-0)2+(3-6)2

=3

2

，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；

（3）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（3，0），
①当0＜x≤3时，此时直线m左侧部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直线y₁=x上，
∴PQ=x，
∴s=

1

2

x²（0＜x≤3）；
②当3＜x＜6时，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB-OP=6-x，
而Q在直线y₂=-x+6上，
∴PQ=-x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=

1

2

×CD×OB-

1

2

×BP×PQ=

1

2

×3×6-

1

2

×（6-x）×（-x+6）=-

1

2

x²+6x-9（3＜x＜6）．
解：（1）由题意得：

y=x y=-x+6

，
解得：

x=3 y=3

，
∴点C的坐标为（3，3）；
当x＞3时y₁＞y₂；

（2）△COB是等腰直角三角形．
证明：∵直线BC的解析式为：y₂=-x+6，
∴B（0，6），
∵直线OC的解析式为：y₁=x，
∴∠COB=45°，
∴OC=

32+32

=3

2

，BC=

(3-0)2+(3-6)2

=3

2

，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；

（3）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（3，0），
①当0＜x≤3时，此时直线m左侧部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直线y₁=x上，
∴PQ=x，
∴s=

1

2

x²（0＜x≤3）；
②当3＜x＜6时，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB-OP=6-x，
而Q在直线y₂=-x+6上，
∴PQ=-x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=

1

2

×CD×OB-

1

2

×BP×PQ=

1

2

×3×6-

1

2

×（6-x）×（-x+6）=-

1

2

x²+6x-9（3＜x＜6）．