试题

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），点D是AC的中点，点Q从点C沿△BOC的三边按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度运动一周，设移动时间为t秒
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△DCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）试探究：点P在x轴上以每秒1个单位长度的速度从点A向点C运动，若点P与点Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，t为何值时，以点P、Q、C为顶点的三角形与△BOC相似．

解：（1）由题意，知B（0，6），C（8，0），
设直线l₂的解析式为y=kx+b，则

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
故l₂的解析式为：y=-

3

4

x+6；

（2）如图1，过点Q作QE⊥OC于点E，
当0＜t≤10时，
∵QE⊥CO，
∴∠QEC=90°，
∴BO∥QE，
∴△CBO∽△CQE，
∴

OB

QE

=

BC

QC

，
∵BO=6，CO=8，
∴BC=

62+82

=10，
QC=t，
∴

6

QE

=

10

t

，
解得：QE=

3

5

t，
∵直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴相交于A点，
∴x=-2，
∴AO=2，则AC=2+8=10，即DC=5，
∴△DCQ的面积为：S=

1

2

×5×

3

5

t=

3

2

t，
如图2，当10＜t＜16时，
∵QO=16-t，DC=5，
∴△DCQ的面积为：S=

1

2

×5×（16-t）=-

5

2

t+40；

（3）如图3，当过点P作PQ⊥BC于点Q时，
∵∠PQC=90°，∠BOC=90°，∠QCP=OCB，
∴△BOC∽△PQC，
∴

QC

CO

=

PC

BC

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
解得：t=

40

9

，
如图4，当QP⊥OC于点C时，
∵QP⊥CO，BO⊥CO，
∴QP∥BO，
∴△QPC∽△BOC，
∴

QC

BC

=

PC

CO

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
解得：t=

50

9

，
综上所述：当t=

40

9

，

50

9

时，以点P、Q、C为顶点的三角形与△BOC相似．
解：（1）由题意，知B（0，6），C（8，0），
设直线l₂的解析式为y=kx+b，则

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
故l₂的解析式为：y=-

3

4

x+6；

（2）如图1，过点Q作QE⊥OC于点E，
当0＜t≤10时，
∵QE⊥CO，
∴∠QEC=90°，
∴BO∥QE，
∴△CBO∽△CQE，
∴

OB

QE

=

BC

QC

，
∵BO=6，CO=8，
∴BC=

62+82

=10，
QC=t，
∴

6

QE

=

10

t

，
解得：QE=

3

5

t，
∵直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴相交于A点，
∴x=-2，
∴AO=2，则AC=2+8=10，即DC=5，
∴△DCQ的面积为：S=

1

2

×5×

3

5

t=

3

2

t，
如图2，当10＜t＜16时，
∵QO=16-t，DC=5，
∴△DCQ的面积为：S=

1

2

×5×（16-t）=-

5

2

t+40；

（3）如图3，当过点P作PQ⊥BC于点Q时，
∵∠PQC=90°，∠BOC=90°，∠QCP=OCB，
∴△BOC∽△PQC，
∴

QC

CO

=

PC

BC

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
解得：t=

40

9

，
如图4，当QP⊥OC于点C时，
∵QP⊥CO，BO⊥CO，
∴QP∥BO，
∴△QPC∽△BOC，
∴

QC

BC

=

PC

CO

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
解得：t=

50

9

，
综上所述：当t=

40

9

，

50

9

时，以点P、Q、C为顶点的三角形与△BOC相似．