试题

如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．

（1）求直线AM的解析式；
（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；
①当x=2，与x=10时，求S的值；
②求S与x之间的函数关系式．

解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：
A（-8，4），M（4，8），
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分别代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
则直线AM解析式为y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB·OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

40

，
解得：S=

4

5

；
②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，
可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）·BN=

1

2

×（3+4）×2=7；
（3）如图所示：
①如图1，当0＜x≤4时，
S=S_△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，
∴

S

S△AOB

=(

OC

OA

)2，
∴

S

16

=(

x

4 5

)2，
S=

x2

5

，
②如图5，当4＜x≤8时，
S=S_△POC-S_△NHO，
S=

x2

5

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

=-

1

20

x2+2x-4，
③如图4，当8＜x≤10时，
S=S_△FCO-S_△BCG-S_△ENO，
=

x2

5

-

2(x-8)(x-8)

2

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

，
=-

21

20

x²+18x-68
④如图2，10＜x≤12时，
CO=x，NO=x-4，NQ=

1

2

（x-4），BN=12-x
∴S=_{S四边形ABNQ}
=

[ 1 2 (x-4)+4](12-x)

2

，
=-

1

4

x²+2x+12．
∴S与x的函数关系式为：S=

x2 5 (0＜x≤4) - 1 20 x2+2x-4(4＜x≤8) - 21 20 x2+18x-68(8＜x≤10) - 1 4 x2+2x+12(10＜x≤12)

．
解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：
A（-8，4），M（4，8），
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分别代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
则直线AM解析式为y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB·OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

40

，
解得：S=

4

5

；
②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，
可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）·BN=

1

2

×（3+4）×2=7；
（3）如图所示：
①如图1，当0＜x≤4时，
S=S_△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，
∴

S

S△AOB

=(

OC

OA

)2，
∴

S

16

=(

x

4 5

)2，
S=

x2

5

，
②如图5，当4＜x≤8时，
S=S_△POC-S_△NHO，
S=

x2

5

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

=-

1

20

x2+2x-4，
③如图4，当8＜x≤10时，
S=S_△FCO-S_△BCG-S_△ENO，
=

x2

5

-

2(x-8)(x-8)

2

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

，
=-

21

20

x²+18x-68
④如图2，10＜x≤12时，
CO=x，NO=x-4，NQ=

1

2

（x-4），BN=12-x
∴S=_{S四边形ABNQ}
=

[ 1 2 (x-4)+4](12-x)

2

，
=-

1

4

x²+2x+12．
∴S与x的函数关系式为：S=

x2 5 (0＜x≤4) - 1 20 x2+2x-4(4＜x≤8) - 21 20 x2+18x-68(8＜x≤10) - 1 4 x2+2x+12(10＜x≤12)

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