试题

（2007·佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）若平面内有M（1，-2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）过A作AH⊥x轴于H点，则AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（过M作MT⊥x轴于T点，则MT=CT=2 ）可证：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

．
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，同理MC=2

2

，
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．
设MD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

k+b=-2 5 3 k+b=0

，
∴

k=3 b=-5

∴函数解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．
解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）过A作AH⊥x轴于H点，则AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（过M作MT⊥x轴于T点，则MT=CT=2 ）可证：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

．
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，同理MC=2

2

，
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．
设MD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

k+b=-2 5 3 k+b=0

，
∴

k=3 b=-5

∴函数解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．