试题

如图，△ABO中，∠A=90°，AO=AB=2

2

，OB=4，以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系，在O和B处分别有动点P和Q，P从O沿OA向A运动，Q从B沿AB的延长线运动，两点同时出发，速度都为

2

，运动的时间为t，且0＜t＜2．
（1）求A点的坐标及AB所在的直线的解析式．
（2）求△APQ的面积S与时间t的函数关系式．
（3）设PQ与BO相交于E，在运动过程中（0＜t＜2），PE与EQ是否相等．

解：（1）作AD⊥OB于D点，如图（1），
∵AO=AB=2

2

，OB=4，
∴OD=BD=2，
∵∠OAB=90°
∴AD=OD=2
∴A（2，2）、B（4，0）
设AB所在的直线的解析式为y=kx+b
把A（2，2）、B（4，0）代入得：

2=2k+b 0=4k+b

解得：

k=-1 b=4

∴AB所在的直线的解析式为：y=-x+4
∴A（2，2）、AB所在的直线的解析式为：y=-x+4

（2）由题意知：OP=BQ=

2

t
∴AP=2

2

-

2

t，AQ=2

2

+

2

t
∴S=

1

2

AP·AQ=

1

2

（2

2

-

2

t）（2

2

+

2

t）=4-t²

（3）相等
理由：
作PM⊥OB于M点，QN⊥OB于N点，如图（2）
∴∠PMO=∠QNB=90°，
∵P、B运动时间相同，
∴OP=BQ，
在△OPM和△BQN中，
∵

∠PMO=∠QNB=90° ∠POM=∠QBN OP=BQ

 
∴△OPM≌△BQN（AAS），
∴PM=QN，
又∵∠PEM=∠QEN，
∴在△PME和△QNE中，
∴

∠PEM=∠QEN ∠EMP=∠ENQ PM=QN

，
∴△PME≌△QNE（AAS），
∴PE=EQ．
解：（1）作AD⊥OB于D点，如图（1），
∵AO=AB=2

2

，OB=4，
∴OD=BD=2，
∵∠OAB=90°
∴AD=OD=2
∴A（2，2）、B（4，0）
设AB所在的直线的解析式为y=kx+b
把A（2，2）、B（4，0）代入得：

2=2k+b 0=4k+b

解得：

k=-1 b=4

∴AB所在的直线的解析式为：y=-x+4
∴A（2，2）、AB所在的直线的解析式为：y=-x+4

（2）由题意知：OP=BQ=

2

t
∴AP=2

2

-

2

t，AQ=2

2

+

2

t
∴S=

1

2

AP·AQ=

1

2

（2

2

-

2

t）（2

2

+

2

t）=4-t²

（3）相等
理由：
作PM⊥OB于M点，QN⊥OB于N点，如图（2）
∴∠PMO=∠QNB=90°，
∵P、B运动时间相同，
∴OP=BQ，
在△OPM和△BQN中，
∵

∠PMO=∠QNB=90° ∠POM=∠QBN OP=BQ

 
∴△OPM≌△BQN（AAS），
∴PM=QN，
又∵∠PEM=∠QEN，
∴在△PME和△QNE中，
∴

∠PEM=∠QEN ∠EMP=∠ENQ PM=QN

，
∴△PME≌△QNE（AAS），
∴PE=EQ．