试题

已知：在坐标平面内A（0，0）、B（12，0）、C（12，6）、D（0，6），点Q、P分别沿DA、AB从D、A向A、B以1单位/秒，2单位/秒的速度移动，同时出发，t表示移动时间（0≤t≤6）．
（1）写出△PQA的面积S与t的函数关系式．
（2）四边形APCQ的面积与t有关吗？说明理由．
（3）t等于多少时，△APQ为轴对称图形．
（4）PQ能否与AC垂直？若能，求出直线PQ的解析式；若不能，说明理由．

解：（1）∵AP=2t，DQ=t，
∴AQ=AD-DQ=6-t，
∴S_△APQ=

1

2

AP·AQ=

1

2

·2t（6-t）=-t²+6t，
∴S=-t²+6t；

（2）连接AC．
∵S_{四边形APCQ}=S_△AQC+S_△APC=

1

2

（6-t）·12+

1

2

·2t·6=36，
∴四边形APGQ的面积与t无关；

（3）当且仅当AQ=AP，即6-t=2t，t=2时，△AQP是等腰直角三角形，从而是轴对称图形．
故当t=2时，△APQ为轴对称图形；

（4）假设PQ⊥AC，则∠CAB=∠PQA=90°-∠APQ，
又∵∠ABC=∠QAP=90°，
∴△ABC∽△QAP，
∴AB：QA=BC：AP，
∴

12

6-t

=

6

2t

，
解得t=

6

5

．
∴AP=2t=

12

5

，AQ=6-t=

24

5

．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
∵P（

12

5

，0）、Q（0，

24

5

）在此直线上，
∴

12 5 k+b=0 b= 24 5

，
解得

k=-2 b= 24 5

．
∴直线PQ的解析式为y=-2x+

24

5

．
解：（1）∵AP=2t，DQ=t，
∴AQ=AD-DQ=6-t，
∴S_△APQ=

1

2

AP·AQ=

1

2

·2t（6-t）=-t²+6t，
∴S=-t²+6t；

（2）连接AC．
∵S_{四边形APCQ}=S_△AQC+S_△APC=

1

2

（6-t）·12+

1

2

·2t·6=36，
∴四边形APGQ的面积与t无关；

（3）当且仅当AQ=AP，即6-t=2t，t=2时，△AQP是等腰直角三角形，从而是轴对称图形．
故当t=2时，△APQ为轴对称图形；

（4）假设PQ⊥AC，则∠CAB=∠PQA=90°-∠APQ，
又∵∠ABC=∠QAP=90°，
∴△ABC∽△QAP，
∴AB：QA=BC：AP，
∴

12

6-t

=

6

2t

，
解得t=

6

5

．
∴AP=2t=

12

5

，AQ=6-t=

24

5

．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
∵P（

12

5

，0）、Q（0，

24

5

）在此直线上，
∴

12 5 k+b=0 b= 24 5

，
解得

k=-2 b= 24 5

．
∴直线PQ的解析式为y=-2x+

24

5

．