试题

题目：
（2001·陕西）如图，在直角坐标系xoy中，一次函数y=
3
3
x+2的图象与x轴交于点A，与y轴青果学院交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
青果学院解：（1）y=
3
3
x+2，令x=0，
得y=2，令y=0，得x=-2
3
，
∴A点坐标是（-2
3
，0），B点坐标是（0，2），
∴OA=2
3
，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO2=AC·AB，
∴AC=
AO2
AB
=
(2
3
)2
4
=3，
作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴
CD
BO
=
AD
AO
=
AC
AB
，
∴
CD
2
=
AD
2
3
=
3
4
，
∴CD=
3
2
，AD=
3
2
3
，
∴OD=AO-AD=2
3
-
3
2
3
=
1
2
3
，
∴C点坐标为（-
1
2
3
，
3
2
）；

（2）存在满足条件的点P，
P1(2
3
，0），P2(-
2
3
3
，0），P3(4-2
3
，0），P4(-4-2
3
，0）．
青果学院解：（1）y=
3
3
x+2，令x=0，
得y=2，令y=0，得x=-2
3
，
∴A点坐标是（-2
3
，0），B点坐标是（0，2），
∴OA=2
3
，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO2=AC·AB，
∴AC=
AO2
AB
=
(2
3
)2
4
=3，
作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴
CD
BO
=
AD
AO
=
AC
AB
，
∴
CD
2
=
AD
2
3
=
3
4
，
∴CD=
3
2
，AD=
3
2
3
，
∴OD=AO-AD=2
3
-
3
2
3
=
1
2
3
，
∴C点坐标为（-
1
2
3
，
3
2
）；

（2）存在满足条件的点P，
P1(2
3
，0），P2(-
2
3
3
，0），P3(4-2
3
，0），P4(-4-2
3
，0）．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）因为一次函数y=
3
3
x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以分别令x=0，y=0，可求得B、A的坐标，从而求出OA=2
3
，OB=2，AB=4，因为OC⊥AB于C，利用射影定理可得AO2=AC·AB，所以AC=
AO2
AB
=
(2
3
)2
4
=3，要求C点坐标，需作CD⊥x轴于D，证明△ACD∽△ABO，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得到
CD
BO
=
AD
AO
=
AC
AB
，代入相关数据即可求出CD=
3
2
，AD=
3
2
3
，而OD=AO-AD=2
3
-
3
2
3
=
1
2
3
，从而求出C点坐标为（-
1
2
3
，
3
2
）；
（2）要在x轴上寻找点P，使△PAB为等腰三角形，需分情况讨论：
若PB=AB=4，则P和A关于y轴对称，所以有P1(2
3
，0）；
若PA=PB，设P（x，0），利用两点间的距离公式可得（x+2
3
）2=x2+（0-2）2，解之可得P2(-
2
3
3
，0）；
因为A（-2
3
，0），若PA=PB=4，则P3(4-2
3
，0），P4(-4-2
3
，0）．
本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形、分类讨论来解决问题．
压轴题．
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