试题

（2013·秀洲区二模）如图①，平面直角坐标系中，直线y=

3

3

x+3分别交x轴、y轴于点A、B，OC⊥AB于点C，D是AB的中点．动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动．设点P的运动时间为t秒，当点P到达O点时P、Q同时停止运动．
（1）求OD的长；
（2）当点P在AD上运动时，设△DPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图②，当点P在DO上、点Q在OB上运动时，PQ与OC交于点E，当t为何值时，△OPE为等腰三角形？

解：（1）∵直线y=

3

3

x+3交x轴于x轴、y轴于点A、B，
∴A点的坐标是（-3

3

，0），B点的坐标是（0，3），
∴AB=6，
∵D是AB的中点，
∴OD=3；

（2）过Q作QE⊥AB于E，如图，
∵OC⊥AB于点C，
∴

QE

OC

=

DQ

DO

，AB·OC=AO·BO，
∴6OC=3

3

×3，
∴OC=

3 3

2

，
∵动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动，
∴DP=AD-AP=3-t，DQ=t，
∴

QE

3 3 2

=

t

3

，
∴QE=

3

2

t，
∴S_△DPQ=

1

2

DP·QE=

1

2

（3-t）×

3

2

t=-

3

4

t2+

3 3

4

t，
∵0＜t≤3，
当t=

3

2

时，S的最大值=

9 3

16

；

（3）当PE=OE时，PQ∥OA，
∴OQ=

1

2

OP，即t-3=

1

2

（6-t），
∴t=4，
当OP=OE时，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
过P作PF⊥OB，
∴PF=QF，
∵PF=cos30°×OP=

3

2

（6-t），
QF=t-3-

1

2

（6-t），
∴t-3-

1

2

（6-t）=

3

2

（6-t），
∴t=3+

3

，
当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，
则PE∥OB，
此时△POE不存在，
所以此情况不成立，
综上当t=4或t=3+

3

，△OPE为等腰三角形．
解：（1）∵直线y=

3

3

x+3交x轴于x轴、y轴于点A、B，
∴A点的坐标是（-3

3

，0），B点的坐标是（0，3），
∴AB=6，
∵D是AB的中点，
∴OD=3；

（2）过Q作QE⊥AB于E，如图，
∵OC⊥AB于点C，
∴

QE

OC

=

DQ

DO

，AB·OC=AO·BO，
∴6OC=3

3

×3，
∴OC=

3 3

2

，
∵动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动，
∴DP=AD-AP=3-t，DQ=t，
∴

QE

3 3 2

=

t

3

，
∴QE=

3

2

t，
∴S_△DPQ=

1

2

DP·QE=

1

2

（3-t）×

3

2

t=-

3

4

t2+

3 3

4

t，
∵0＜t≤3，
当t=

3

2

时，S的最大值=

9 3

16

；

（3）当PE=OE时，PQ∥OA，
∴OQ=

1

2

OP，即t-3=

1

2

（6-t），
∴t=4，
当OP=OE时，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
过P作PF⊥OB，
∴PF=QF，
∵PF=cos30°×OP=

3

2

（6-t），
QF=t-3-

1

2

（6-t），
∴t-3-

1

2

（6-t）=

3

2

（6-t），
∴t=3+

3

，
当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，
则PE∥OB，
此时△POE不存在，
所以此情况不成立，
综上当t=4或t=3+

3

，△OPE为等腰三角形．