试题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

4

3

x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点A出发沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为每秒3个单位长度、4个单位长度、5个单位长度，直线l从与x轴重合的位置出发，以每秒

4

3

个单位长度的速度沿y轴向上平移，移动过程中直线l分别与直线OB、AB交于点E、F，若点P与直线l同时出发，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周回到点A时，直线l和点P同时停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t为何值时，点P与点E重合？
（3）当t为何值时，点P与点F重合？
（4）当点P在AO-OB上，且点P、E、F不在同一直线上时，设△PEF的面积为S，请直接写出S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．

解：（1）令x=0，得y=12，令y=0，得x=9
∴与y轴交点B的坐标为（0，12），与x轴交点A的坐标为（9，0）；
（2）点P在OA上运动的时间为9÷3=3秒，

点E在OB上移动的距离为3×

4

3

=4，
点P和点E重合的时间为：3+4÷（4-

4

3

）=

9

2

秒，
当t=

9

2

秒，点P与点E重合；

（3）点P在OA、OB上运动的时间和为9÷3+12÷4=6秒，
点E在OB上移动的距离为6×

4

3

=8，
AB=

122+92

=15
∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA
∴

BE

BO

=

BF

BA

即

12-8

12

=

BF

15

解得BF=5，
则点F运动的速度为（15-5）÷6=

5

2

个单位/秒，
∴点P与点F重合的时间为5÷（5+

5

2

）+6=

20

3

秒；

（4）∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA

EF

OA

=

BE

BO

即

EF

9

=

12- 4 3 t

12

EF=9-t
①当点P在OA上运动，即0＜t≤3；
S=

1

2

×（9-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+6t；
②当点P在OB上运动，即3＜t≤6且t≠

9

2

；
S=

1

2

×（9-t）×4（t-3）=-2t²+24t-54．
解：（1）令x=0，得y=12，令y=0，得x=9
∴与y轴交点B的坐标为（0，12），与x轴交点A的坐标为（9，0）；
（2）点P在OA上运动的时间为9÷3=3秒，

点E在OB上移动的距离为3×

4

3

=4，
点P和点E重合的时间为：3+4÷（4-

4

3

）=

9

2

秒，
当t=

9

2

秒，点P与点E重合；

（3）点P在OA、OB上运动的时间和为9÷3+12÷4=6秒，
点E在OB上移动的距离为6×

4

3

=8，
AB=

122+92

=15
∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA
∴

BE

BO

=

BF

BA

即

12-8

12

=

BF

15

解得BF=5，
则点F运动的速度为（15-5）÷6=

5

2

个单位/秒，
∴点P与点F重合的时间为5÷（5+

5

2

）+6=

20

3

秒；

（4）∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA

EF

OA

=

BE

BO

即

EF

9

=

12- 4 3 t

12

EF=9-t
①当点P在OA上运动，即0＜t≤3；
S=

1

2

×（9-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+6t；
②当点P在OB上运动，即3＜t≤6且t≠

9

2

；
S=

1

2

×（9-t）×4（t-3）=-2t²+24t-54．