试题

如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）写出点B的坐标：；
（2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x轴于点C，
∴点B的坐标为：（3，2）；
故答案为：（3，2）．

（2）∵设直线OA的坐标为：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直线OA的解析式为：y=2x，
∵PQ⊥直线OA，
∴设直线PQ的解析式为：y=-

1

2

x+b，
∵当t=7时，点P的坐标为（7，0），
∴-

1

2

×7+b=0，
解得：b=

7

2

，
∴直线PQ的解析式为：y=-

1

2

x+

7

2

；
当x=3时，y=2，
∴点B在直线PQ上；

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=

2 5

5

，cos∠POQ=

5

5

，
∴tan∠OPQ=

1

2

，
∵OP=t，
∴OQ=

5

5

t，PQ=

2 5

5

t，
当t=3时，点P与点C重合，
当Q与A重合时，即OQ=OA=

12+22

=

5

，
∴

5

5

t=

5

，
解得：t=5；
当0＜t≤3，S=S_△PQO=

1

2

OQ·PQ=

1

2

×

5

5

t×

2 5

5

t=

1

5

t²；
当3＜t≤5，如图2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC·tan∠OPQ=

1

2

PC=

t-3

2

，
S=S_△POQ-S_△PCD=

1

5

t²-

1

2

（t-3）×

t-3

2

=-

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
∴当3＜t≤5，s=

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
当5＜t≤7，如图3，
∵CD=

t-3

2

，
∴BD=2-

t-3

2

=

7-t

2

，
∵AB∥x轴，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=

1

2

，
∴BE=2BD=7-t，
∴S=S_梯形OABC-S_△BED=

1

2

×（2+3）×2-

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

，
∴当5＜t≤7，s=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

；

（4）存在．
理由：∵S_△ABC=

1

2

AB·BC=

1

2

×2×2=2，
∴若使得PQ分△ABC的面积为1：3，
当3＜t≤5时，S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
设AC交PQ于点E，过点E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=

t-3

2

，
∴EF=2DF=t-3，
∴

1

2

×（t-3）×

t-3

2

=

1

2

，
解得：t=3+

2

；
当5＜t≤7时，S_△BDE=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
即

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=

1

2

，
解得：t=7-

2

；
综上可得：t1=3+

2

或t2=7-

2

．