已知A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x轴交直线AC于点D．（1）如图，用含t的代数式表示点C的坐标及△A...-青果题库-青果学院

题目：

已知A（0，6），点B（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x轴交直线AC于点D．
（1）如图，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（2）当△ABD为等腰三角形时，求出所有符合条件的点B的坐标．

答案

解：（1）过点C作CE⊥OB于E．
在△AOB与△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

OA

EB

=

OB

EC

=

AB

BC

=2，
即

6

BE

=

t

EC

=2，
∴BE=3，EC=

1

2

t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴点C的坐标为（t+3，

1

2

t）；
在Rt△BCE中，BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB·BC=BC²，
∴S_△ABC=

1

4

t²+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，

1

2

t）；
∴直线AC的解析式为y=

1

2

t-6

t+3

x+6．
∵点B（t，0），
∴设D（t，

1

2

t-6

t+3

t+6），
∴AB²=t²+36，AD²=t²+（

1

2

t-6

t+3

t）²，BD²=（

1

2

t-6

t+3

t+6）²．
分三种情况：
①当AD=AB时，t²+（

1

2

t-6

t+3

t）²=t²+36，（

1

2

t-6

t+3

t）²=36，
∴

1

2

t-6

t+3

t=6或

1

2

t-6

t+3

t=-6，
当

1

2

t-6

t+3

t=6时，整理得t²-24t-36=0，
解得t₁=12+6

5

，t₂=12-6

5

（不合题意，舍去），
∴B₁（12+6

5

，0）；
当

1

2

t-6

t+3

t=-6时，整理得t²+36=0，
此方程无解；
②当AD=BD时，t²+（

1

2

t-6

t+3

t）²=（

1

2

t-6

t+3

t+6）²，
整理得t³-3t²+36t-108=0，
∴（t-3）（t²+36）=0，
解得t=3，
∴B₂（3，0）；
③当AB=BD时，t²+36=（

1

2

t-6

t+3

t+6）²，
整理得t³+8t²+36t+288=0，
∴（t+8）（t²+36）=0，
解得t=-8（不合题意，舍去）．
综上可知，符合条件的点B的坐标为B₁（12+6

5

，0），B₂（3，0）．
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