试题

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=9，OC=15，将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA₁B₁C₁．将矩形OA₁B₁C₁折叠，使得点B₁落在x轴上，并与x轴上的点B₂重合，折痕为A₁D．
（1）求点B₂的坐标；
（2）求折痕A₁D所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠BPB₁为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由条件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12
∴点B₂坐标为（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，则B₁D=9-m，
∵B₁D=B₂D，
∴

m2+9

=9-m，
解得m=4，
∴D点的坐标为（15，4），
又A₁（0，9），
设折痕A₁D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

9=b 4=15k+b

，
解得

k=- 1 3 b=9

，
即折痕A₁D所在直线的解析式为y=-

1

3

x+9．

（3）假设存在P点，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中，

∠ABP=∠B1PC1 ∠BAP=∠PC1B1=90°

，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴

AB

C1P

=

AP

C1B1

，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，设PC₁的长为m，
∴

15

m

=

24-m

9

，
解得m₁=15或m₂=9．
经检验m₁=15或m₂=9是方程的两根，
当PC₁=15时，P点坐标为（0，0）；
当PC₁=9时，P点坐标为（6，0）．
综上所述，P点坐标为（0，0），（6，0）．
解：（1）由条件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12
∴点B₂坐标为（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，则B₁D=9-m，
∵B₁D=B₂D，
∴

m2+9

=9-m，
解得m=4，
∴D点的坐标为（15，4），
又A₁（0，9），
设折痕A₁D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

9=b 4=15k+b

，
解得

k=- 1 3 b=9

，
即折痕A₁D所在直线的解析式为y=-

1

3

x+9．

（3）假设存在P点，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中，

∠ABP=∠B1PC1 ∠BAP=∠PC1B1=90°

，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴

AB

C1P

=

AP

C1B1

，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，设PC₁的长为m，
∴

15

m

=

24-m

9

，
解得m₁=15或m₂=9．
经检验m₁=15或m₂=9是方程的两根，
当PC₁=15时，P点坐标为（0，0）；
当PC₁=9时，P点坐标为（6，0）．
综上所述，P点坐标为（0，0），（6，0）．