试题

已知a是实数，函数y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求证：|y|≤

5

4

．

证明：当a=±1，y=±1，则|y|＜

5

4

；
当-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，
∴当x=-1，y有最大值，此时y=-a²+a+1=-（a-

1

2

）²+

5

4

，
即a=

1

2

时，y的最大值为

5

4

，满足|y|≤

5

4

．
当x=1，y有最小值，此时y=a²+a-1=（a+

1

2

）²-

5

4

，
即a=-

1

2

时，y的最小值为

5

4

，满足|y|≤

5

4

．
所以若|a|≤1，有|y|≤

5

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证明：当a=±1，y=±1，则|y|＜

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；
当-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，
∴当x=-1，y有最大值，此时y=-a²+a+1=-（a-

1

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）²+

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，
即a=

1

2

时，y的最大值为

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，满足|y|≤

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当x=1，y有最小值，此时y=a²+a-1=（a+

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）²-

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，
即a=-

1

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时，y的最小值为

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，满足|y|≤

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所以若|a|≤1，有|y|≤

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