试题

如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．
（1）求经过A、C两点的直线的解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

4k+b=8 b=5

，
解得

k= 3 4 b=5

，
∴直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5；

（2）∵DE∥AC，直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5，
∴可设直线DE的解析式为：y=

3

4

x+n．
设直线DE与y轴交于点M，则M（0，n），D（-

4

3

n，0）．
如果四边形CDEF为矩形，则DE⊥CD，
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC，
又∵∠COD=∠DOM，
∴△COD∽△DOM，
∴OC：OD=OD：OM，
∴OD²=OC·OM，
∴（-

4

3

n）²=5|n|，
∵n＜0，解得n=-

45

16

，
即直线DE的解析式为：y=

3

4

x-

45

16

，
故能使四边形CDEF为矩形，此时k=

3

4

，b=-

45

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．
解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

4k+b=8 b=5

，
解得

k= 3 4 b=5

，
∴直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5；

（2）∵DE∥AC，直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5，
∴可设直线DE的解析式为：y=

3

4

x+n．
设直线DE与y轴交于点M，则M（0，n），D（-

4

3

n，0）．
如果四边形CDEF为矩形，则DE⊥CD，
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC，
又∵∠COD=∠DOM，
∴△COD∽△DOM，
∴OC：OD=OD：OM，
∴OD²=OC·OM，
∴（-

4

3

n）²=5|n|，
∵n＜0，解得n=-

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，
即直线DE的解析式为：y=

3

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x-

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，
故能使四边形CDEF为矩形，此时k=

3

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，b=-

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