试题

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．
（1）求⊙M的半径．
（2）求线段AC的长．
（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

解：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA·OB长是x²-mx+12=0的两根
∴OA·OB=12∴OB=3   故B（0，3）（2分）
∵OB为直径
∴半径MB=

3

2

       （4分）

（2）连接OC
∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC                    （5分）
∴OC·AB=OA·OB
∵AB=

42+32

=5            （6分）
∴OC·5=3·4
∴OC=

12

5

                    （7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

    （8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO   （9分）
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO                （10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC                       （11分）
∴CD是⊙M的切线               （12分）
（注：由于解法不一，可以视方法的异同与合理性分步计分）
解：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA·OB长是x²-mx+12=0的两根
∴OA·OB=12∴OB=3   故B（0，3）（2分）
∵OB为直径
∴半径MB=

3

2

       （4分）

（2）连接OC
∵OB是⊙M直径
∴OC⊥BC                    （5分）
∴OC·AB=OA·OB
∵AB=

42+32

=5            （6分）
∴OC·5=3·4
∴OC=

12

5

                    （7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

    （8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO   （9分）
又CD是Rt△OCA斜边上中线
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO                （10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC                       （11分）
∴CD是⊙M的切线               （12分）
（注：由于解法不一，可以视方法的异同与合理性分步计分）