试题

（2007·南昌）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴

AD

AB

=

AE

AC

．（2分）
又∵AD=8-2x，AB=8，AE=y，AC=6，
∴

8-2x

8

=

y

6

．
∴y=-

3

2

x+6．（3分）
自变量x的取值范围为0≤x≤4．（4分）

（2）S=

1

2

BD·AE=

1

2

·2x·y（6分）
=-

3

2

x²+6x（8分）

（3）S=-

3

2

x²+6x
=-

3

2

x²+6x+9-9
=-

3

2

（x-2）²+6．（10分）
∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6．（11分）
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴

AD

AB

=

AE

AC

．（2分）
又∵AD=8-2x，AB=8，AE=y，AC=6，
∴

8-2x

8

=

y

6

．
∴y=-

3

2

x+6．（3分）
自变量x的取值范围为0≤x≤4．（4分）

（2）S=

1

2

BD·AE=

1

2

·2x·y（6分）
=-

3

2

x²+6x（8分）

（3）S=-

3

2

x²+6x
=-

3

2

x²+6x+9-9
=-

3

2

（x-2）²+6．（10分）
∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6．（11分）