试题

某校九年级（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，为了使设计出的长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们做了以下三种试验：

请根据以上图案回答下列问题：
（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6米，当竖档AB长为1米，求长方形框架ABCD的面积；
（2）在图案（2）中，如果铝合金材料总长度为6米，设竖档AB为x米，求长方形框架ABCD的面积S（用含x的代数式表示），并指出当AB为多少米时，长方形框架ABCD的面积S最大；
（3）在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为a米，设竖档AB为x米，求当AB为多少米时，长方形框架ABCD的面积S最大．
（4）探索：如图（4），如果铝合金材料总长度为a米，AD边上共有n条竖档时，请直接写出当竖档AB长为多少米时，长方形框架ABCD的面积最大，最大值为多少．

解：（1）当AB=1m时，AD=

6-2

3

=

4

3

m，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；
（2）图（2）中，设AB为x米，则AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
当x=1时，S取得最大值；
即当AB=1米，长方形框架ABCD的面积S最大．
（3）图（3）中，设AB为x米，则AD=

a-4x

3

，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

a

3

x=-

4

3

（x-

a

8

）²+

1

12

a²，
当x=

a

8

，长方形框架ABCD的面积S最大．
（4）图（4）中，当竖档AB长为

a

2n

米时，长方形框架ABCD的面积最大，最大值为

1

12n

a²m²．
解：（1）当AB=1m时，AD=

6-2

3

=

4

3

m，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；
（2）图（2）中，设AB为x米，则AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
当x=1时，S取得最大值；
即当AB=1米，长方形框架ABCD的面积S最大．
（3）图（3）中，设AB为x米，则AD=

a-4x

3

，
S_{长方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

a

3

x=-

4

3

（x-

a

8

）²+

1

12

a²，
当x=

a

8

，长方形框架ABCD的面积S最大．
（4）图（4）中，当竖档AB长为

a

2n

米时，长方形框架ABCD的面积最大，最大值为

1

12n

a²m²．