试题

（2004·包头）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙长为28米），另外的部分用竹篱笆围成．
（1）若用长为50米的竹篱笆围成面积为300米²的矩形养鸡场（如图1），设矩形的长为y米，宽为x米，求x和y的值；
（2）若用长为30米的竹篱笆围成矩形（如图1）或半圆形（如图2）养鸡场，设矩形的面积为S₁米²、长为y米、宽为x米，半圆形的面积为S₂米²、半径为r米，试比较S₁和S₂的大小．（取π≈3）

解：（1）设矩形的长为y米，宽为x米，
则xy=300，
∵2x+y=50，
∴y=50-2x，
∴x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15；
故x₁=10，y₁=30； x₂=15，y₂=20
根据墙长28米，y=30不符合题意（舍去），
∴x=15，y=20．

（2）由题意，得y+2x=30，S₁=x·y，
∴S_l=x·（30-2x）=-2x²+30x．
又∵30=πr，
∴r=10．
∴S₂=150．
又∵S₁=-2x2+30x=-2（x²-15x）=-2（x-

15

2

）²+

225

2

．
当x=

15

2

时，S₁的最大值为

225

2

，

225

2

＜150，
∴S_l＜S₂．
解：（1）设矩形的长为y米，宽为x米，
则xy=300，
∵2x+y=50，
∴y=50-2x，
∴x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15；
故x₁=10，y₁=30； x₂=15，y₂=20
根据墙长28米，y=30不符合题意（舍去），
∴x=15，y=20．

（2）由题意，得y+2x=30，S₁=x·y，
∴S_l=x·（30-2x）=-2x²+30x．
又∵30=πr，
∴r=10．
∴S₂=150．
又∵S₁=-2x2+30x=-2（x²-15x）=-2（x-

15

2

）²+

225

2

．
当x=

15

2

时，S₁的最大值为

225

2

，

225

2

＜150，
∴S_l＜S₂．