试题

（2002·昆明）某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元；设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量X的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；
（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）．
参考资料：①当矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形；②

5

≈2.236．

解：（1）S与x之间的函数关系式为S=x（6-x）=-x²+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x²+6x=-（x-3）²+9．
即：矩形广告牌设计为边长3米的正方形时，矩形的面积最大．为9平方米；
此时可获得最多设计费，为9×1000=9000（元）．

（3）设此黄金矩形的长为x米，宽为y米．则由题意可知：

x2=y(x+y) x+y=6

解得：

x=3 5 -3 y=9-3 5

（x=-3

5

-3不合题意，舍去）
即：当把矩形的长设计为（3

5

-3）米时．此矩形将成为黄金矩形．
此时S=xy=（3

5

-3）（9-3

5

）=36（

5

-2）
可获得的设计费为36（

5

-2）×1000≈8496元．
解：（1）S与x之间的函数关系式为S=x（6-x）=-x²+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x²+6x=-（x-3）²+9．
即：矩形广告牌设计为边长3米的正方形时，矩形的面积最大．为9平方米；
此时可获得最多设计费，为9×1000=9000（元）．

（3）设此黄金矩形的长为x米，宽为y米．则由题意可知：

x2=y(x+y) x+y=6

解得：

x=3 5 -3 y=9-3 5

（x=-3

5

-3不合题意，舍去）
即：当把矩形的长设计为（3

5

-3）米时．此矩形将成为黄金矩形．
此时S=xy=（3

5

-3）（9-3

5

）=36（

5

-2）
可获得的设计费为36（

5

-2）×1000≈8496元．