试题

（2012·重庆模拟）潼南县的一家房地产开发公司在2011年底销售商品房时，市场销售部经分析发现，每套商品房的利润P（万元）与销售单价x（千元/m²）满足关系式P=2x+1，销售量y（套）与销售单价x（千元/m²）满足关系式y=-200x+b，且当销售单价定在4千元/m²时，可以销售800套．
（1）当销售单价x定为多少时，该房地产公司获利最大，最大利润为多少万元？
（2）2012年初，由于政府有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，开发商预计当销售单价定位4千元/m²时，可销售800套，若销售单价每提高0.1千元/m²，销售量将减少30套，于是开发商采取了送初装费等促销手段以加大销售力度，并快速回笼奖金，这样一来，每套房屋利润将减少2万元，若开发公司想实现利润5650万元且尽量多地回笼资金（即销售总额更大），问销售单价应定为多少？（精确到0.1千元/m²）（参考数据：

11

≈3.3 ，

12

≈3.5 ，

13

≈3.6）

解：（1）将点（4，800）代入y=-200x+b，可得：800=-800+b，
解得：b=1600，
故y=-200x+1600，
设利润为w，则w=py=（2x+1）（-200x+1600）
=-400x²+3000x+1600
=-400（x-

15

4

）²+7225，
当x=

15

4

时，w取得最大，最大利润为7225万元．
答：当销售单价x定为

15

4

千元/m²时，该房地产公司获利最大，最大利润为7225万元．
（2）设单价定为x千元/m²，则此时的销量为：（800-30×

x-4

0.1

）套，
则w=（2x+1）（800-30×

x-4

0.1

）-2（800-30×

x-4

0.1

）=5650，
整理得：12x²-86x+153=0，
△=2

13

解得：x₁=

86+2 13

24

≈

86+7.2

24

≈3.9，x₂=

86-2 13

24

≈

86-7.2

24

≈3.3，
因为售价为3.9千元/m²时的销售额＜售价为3.3千元/m²的销售额，
所以销售单价应定为3.3千元/m²．
解：（1）将点（4，800）代入y=-200x+b，可得：800=-800+b，
解得：b=1600，
故y=-200x+1600，
设利润为w，则w=py=（2x+1）（-200x+1600）
=-400x²+3000x+1600
=-400（x-

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4

）²+7225，
当x=

15

4

时，w取得最大，最大利润为7225万元．
答：当销售单价x定为

15

4

千元/m²时，该房地产公司获利最大，最大利润为7225万元．
（2）设单价定为x千元/m²，则此时的销量为：（800-30×

x-4

0.1

）套，
则w=（2x+1）（800-30×

x-4

0.1

）-2（800-30×

x-4

0.1

）=5650，
整理得：12x²-86x+153=0，
△=2

13

解得：x₁=

86+2 13

24

≈

86+7.2

24

≈3.9，x₂=

86-2 13

24

≈

86-7.2

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≈3.3，
因为售价为3.9千元/m²时的销售额＜售价为3.3千元/m²的销售额，
所以销售单价应定为3.3千元/m²．