试题

（2012·渝北区一模）在“春季经贸洽谈会”上，我市某服装厂接到生产一批出口服装的订单，要求必须在12天（含12天）内保质保量完成，且当天加工的服装当天立即空运走．为了加快进度，车间采取工人轮流休息，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样每天生产的服装数量y（套）与时间x（元）的关系如下表：

时间x（天）	1	2	3	4	…
每天产量y（套）	22	24	26	28	…

由于机器损耗等原因，当每天生产的服装数达到一定量后，平均每套服装的成本会随着服装产量的增加而增大，这样平均每套服装的成本z（元）与生产时间x（天）的关系如图所示．

（1）判断每天生产的服装的数量y（套）与生产时间x（元）之间是我们学过的哪种函数关系？并验证．
（2）已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元，设车间每天的利润为w（元）．求w（元）与x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该生产车间获得最高利润，最高利润是多少元？
（3）从第6天起，该厂决定该车间每销售一套服装就捐a元给山区的留守儿童作为建图书室的基金，但必须保证每天扣除捐款后的利润随时间的增大而增大．求a的最大值，此时留守儿童共得多少元基金？

解：（1）由表格知，y是x的一次函数
设y=kx+b
则

k+b=22 2k+b=24

，
∴

k=2 b=20

；
∴y=2x+20；
检验：当x=3时，y=2×3+20=26，
当x=4时，y=2×4+20=28，
∴（3，26），（4，28）均满足y=2x+20；

（2）由题意得：z=400（1≤x≤5的整数），
当6≤x≤12的整数时，
设z=k′x+b′，
∴

6k′+b′=440 12k′+b′=680

．
∴

k′=40 b′=200

，
∴z ₁=40x+200；
当1≤x≤5时．
W ₁=（2x+20）（1570-400），
即W ₁=2340x+23400，
∵2340＞0，
∴W ₁随x的增大而增大．
∴x=5时，
W _1最大=2340×5+23400=35100（元），
当6≤x≤12时，
W ₂=（2x+20）（1570-40x-200）=（2x+20）（1370-40x），
即W ₂=-80x ²+1940x+27400，
∵-80＜0，∴开口向下
对称轴x=-

1940

2×(-80)

=12

1

8

，
在对称轴的左侧，W₂随x的增大而增大．
∴当x=12时，W _2最大=39160（元）
∵39160＞35100，
∴第12天获得最大利润为39160元；

（3）设捐款a元后的利润为Q（元）
∵6≤x≤12，
∴Q=（2x+20）（1570-40x-200-a）
=（2x+20）（1370-2a）x+27400-20a，
∵-80＜0，开口向下，
对称轴x=

970-a

80

，在对称轴的左侧，Q随x的增大而增大．
∴

970-a

80

≥12，
∴a≤10，
∴a的最大值是10，
共得到基金（32+34+36+38+40+42+44）×10=2660（元）．
解：（1）由表格知，y是x的一次函数
设y=kx+b
则

k+b=22 2k+b=24

，
∴

k=2 b=20

；
∴y=2x+20；
检验：当x=3时，y=2×3+20=26，
当x=4时，y=2×4+20=28，
∴（3，26），（4，28）均满足y=2x+20；

（2）由题意得：z=400（1≤x≤5的整数），
当6≤x≤12的整数时，
设z=k′x+b′，
∴

6k′+b′=440 12k′+b′=680

．
∴

k′=40 b′=200

，
∴z ₁=40x+200；
当1≤x≤5时．
W ₁=（2x+20）（1570-400），
即W ₁=2340x+23400，
∵2340＞0，
∴W ₁随x的增大而增大．
∴x=5时，
W _1最大=2340×5+23400=35100（元），
当6≤x≤12时，
W ₂=（2x+20）（1570-40x-200）=（2x+20）（1370-40x），
即W ₂=-80x ²+1940x+27400，
∵-80＜0，∴开口向下
对称轴x=-

1940

2×(-80)

=12

1

8

，
在对称轴的左侧，W₂随x的增大而增大．
∴当x=12时，W _2最大=39160（元）
∵39160＞35100，
∴第12天获得最大利润为39160元；

（3）设捐款a元后的利润为Q（元）
∵6≤x≤12，
∴Q=（2x+20）（1570-40x-200-a）
=（2x+20）（1370-2a）x+27400-20a，
∵-80＜0，开口向下，
对称轴x=

970-a

80

，在对称轴的左侧，Q随x的增大而增大．
∴

970-a

80

≥12，
∴a≤10，
∴a的最大值是10，
共得到基金（32+34+36+38+40+42+44）×10=2660（元）．