试题

（2012·宁波模拟）为发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．从今年l月1日开始，该单位每月再生资源处理量y（吨）与月份x之间成如表格所示的一次函数关系．

月份x	1	2
再生资源处理量y（吨）	40	50

月处理成本P（元）与每月再生资源处理量y（吨）之间的函数关系可近似地表示为：P=

1

2

y2-20y+700，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．
（1）求月处理成本P与月份x的函数关系式；
（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5700元？
（3）随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三、四月份的再生资 源处理量都比二月份减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价都比二月份的售价增加了0.6m%．五月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了20%．如果该单位五月份在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的基础上，其利润和二月份的利润一样，求m的值．（m保留整数） （参考数据：

156

≈12.49，

157

≈12.53，

158

≈12.57）

解：（1）将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，
得：

40=k+b 50=2k+b

，
解得：

k=10 b=30

故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，
则月处理成本P与月份x的函数关系式为：
P=

1

2

（10x+30）²-20（10x+30）+700，
=50x²+100x+550，

（2）利润S=100y-P=-50x²+900x+2450，
当S=5700时，-50x²+900x+2450=5700，
解得：x₁=5，x₂=13（不合题意舍去），
当x=5时，月获得利润达到5700元；

（2）二月处理量：50吨，
二月价格：100元/吨，
二月成本：950元，
二月利润：4050元，
三月、四月、五月处理量：50（1-m%）吨，
三月、四月、五月价格：100（1+0.6m%）元，
五月成本：950（1-20%）元，
五月利润：
100×50（1-m%）（1+0.6m%）-950×（1-20%）=4050，
令m%=a，则a=

-2± 157 5

6

，
a₁=

-2+ 157 5

6

≈0.08，a₂=

-2- 157 5

6

≈-0.75（舍），
∴m≈8．
解：（1）将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，
得：

40=k+b 50=2k+b

，
解得：

k=10 b=30

故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，
则月处理成本P与月份x的函数关系式为：
P=

1

2

（10x+30）²-20（10x+30）+700，
=50x²+100x+550，

（2）利润S=100y-P=-50x²+900x+2450，
当S=5700时，-50x²+900x+2450=5700，
解得：x₁=5，x₂=13（不合题意舍去），
当x=5时，月获得利润达到5700元；

（2）二月处理量：50吨，
二月价格：100元/吨，
二月成本：950元，
二月利润：4050元，
三月、四月、五月处理量：50（1-m%）吨，
三月、四月、五月价格：100（1+0.6m%）元，
五月成本：950（1-20%）元，
五月利润：
100×50（1-m%）（1+0.6m%）-950×（1-20%）=4050，
令m%=a，则a=

-2± 157 5

6

，
a₁=

-2+ 157 5

6

≈0.08，a₂=

-2- 157 5

6

≈-0.75（舍），
∴m≈8．