试题

（2012·南海区三模）小明家打算建一个苗圃，苗圃的两边靠墙（这两堵墙互相垂直），另外的部分用30米长的篱笆围成．小明的爸爸提出一个问题：怎样围才能使苗圃的面积尽可能地大？小明思考后，设计了以下三种方案：
方案一：围成斜边为30米的等腰直角三角形（如图1）；
方案二：围成边长为15米的正方形（如图2）；
方案三：围成直角梯形，其中∠BCD=120°（如图3）．
解答下列问题：
（1）分别计算方案一、方案二中苗圃的面积S₁，S₂，并比较S₁，S₂的大小；
（2）设方案三中CD的长为x米，苗圃的面积为S₃平方米，求S₃与x之间的函数关系式，并求出S₃的最大值；（参考数据：

3

取1.74，π取3.15）

解：（1）∵围成斜边为30米的等腰直角三角形，
∴直角边长为30sin45°，
∴S₁=

1

2

×（30sin45°）2=225 m²，
∵围成边长为15米的正方形，
∴S₂=15×15=225 m²．

（2）过点C作CE⊥AD
∵∠BCD=120°，
∴EC=x·sin60°，ED=

1

2

x，BC=30-x，AE=30-x，
∴S₃=

1

2

×（30-x+30-x+

1

2

x）×x×sin60°
=15

3

x-

3 3

8

x2
=-

3 3

8

（x-20）2+150

3

∴当x=20时，S₃取得最大值，为150

3

．
解：（1）∵围成斜边为30米的等腰直角三角形，
∴直角边长为30sin45°，
∴S₁=

1

2

×（30sin45°）2=225 m²，
∵围成边长为15米的正方形，
∴S₂=15×15=225 m²．

（2）过点C作CE⊥AD
∵∠BCD=120°，
∴EC=x·sin60°，ED=

1

2

x，BC=30-x，AE=30-x，
∴S₃=

1

2

×（30-x+30-x+

1

2

x）×x×sin60°
=15

3

x-

3 3

8

x2
=-

3 3

8

（x-20）2+150

3

∴当x=20时，S₃取得最大值，为150

3

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