试题

（2012·黄冈二模）产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
（1）若最低档次的产品每件利润为16元时，生产哪种档次的产品所得利润最大？
（2）若最低档次的产品每件利润为22元时，生产哪种档次的产品所得利润最大？
（3）由于原材料价格浮动，生产最低档次的产品每件利润可以从8元到24元不等，那么生产哪种档次的产品所得利润最大？

解：（1）设生产第x档次的产品，获得利润为y元，则y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]，
y=-2（x-3）²+648
故当x=3时获得的最大利润为648元．

（2）设生产第n档次的产品，获得利润为m元，则m=[40-2（n-1）][22+（n-1）]，
m=-2n²+882．
∵a=-2＜0，对称轴为y轴．
∴抛物线开口下向下，在对称轴的右侧m随n的增大而减小．
∴当n=1时，m最大为880元．

（3）设生产最低档次的产品每件利润为a元，生产第x档次的产品，获得利润为y元，
则y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
y=-2（x-

22-a

2

）²+

a2+20a+400

2

，
则当x=

22-a

2

时，y_最大=

(a+20)2

2

，
∵8≤a≤24，x为1～6的整数，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值时，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必须a=20，x=

22-20

2

=1．
即生产第1档次的产品所得利润最大．
解：（1）设生产第x档次的产品，获得利润为y元，则y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]，
y=-2（x-3）²+648
故当x=3时获得的最大利润为648元．

（2）设生产第n档次的产品，获得利润为m元，则m=[40-2（n-1）][22+（n-1）]，
m=-2n²+882．
∵a=-2＜0，对称轴为y轴．
∴抛物线开口下向下，在对称轴的右侧m随n的增大而减小．
∴当n=1时，m最大为880元．

（3）设生产最低档次的产品每件利润为a元，生产第x档次的产品，获得利润为y元，
则y=[40-2（x-1）][a+（x-1）]
y=-2（x-

22-a

2

）²+

a2+20a+400

2

，
则当x=

22-a

2

时，y_最大=

(a+20)2

2

，
∵8≤a≤24，x为1～6的整数，
∴

22-a

2

＞0，a取最大值时，y最大，
∴a＜22，
∴要使y最大，必须a=20，x=

22-20

2

=1．
即生产第1档次的产品所得利润最大．