试题

（2012·和平区二模）把一张长为20cm，宽为16cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计，如图2）．设剪去的正方形边长为x（cm），x为正整数．折成的长方体盒子底面积为y（cm²）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）折叠成的长方体盒子底面积是否有最大值？若有，请求出最大值，若没有，说明理由；
（3）你认为折叠成的无盖长方体盒子的侧面积有可能是192cm²吗？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．

解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
y=（20-2x）（16-2x）=4x²-72x+320；

（2）设剪去的正方形边长为xcm，
由题意得：y=4x²-72x+320=4（x-9）²-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x为正整数，
∴当x=1时，y取得最大，最大值为252．
（3）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm²，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得　2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x²-9x+48=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm²．
解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
y=（20-2x）（16-2x）=4x²-72x+320；

（2）设剪去的正方形边长为xcm，
由题意得：y=4x²-72x+320=4（x-9）²-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x为正整数，
∴当x=1时，y取得最大，最大值为252．
（3）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm²，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得　2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x²-9x+48=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm²．