试题

重庆市的重大惠民工程--公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-

1

6

x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=-

1

8

x+

19

4

（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m²）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：

z（元/m2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：

315

≈17.7，

319

≈17.8，

321

≈17.9）

解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴

k+b=50 2k+b=52

·

k=2 b=48

，
∴z=2x+48．

（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W₁百万元，则
W₁=（-

1

6

x+5）·（2x+48）
=-

1

3

x2+2x+240
∵对称轴x=-

b

2a

=3，而1≤x≤6
∴当x=3时，W₁最大=243（百万元）
当7≤x≤10时，设收取的租金为W₂百万元，则
W₂=（-

1

8

x+

19

4

）·（2x+48）
=-

1

4

x2+

7

2

x+228
∵对称轴x=-

b

2a

=7，而7≤x≤10
∴当x=7时，W₂最大=

961

4

（百万元）
∵243＞

961

4

∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．

（3）当x=6时，y=-

1

6

×6+5=4百万平方米=400万平方米
当x=10时，y=-

1

8

×10+

19

4

=3.5百万平方米=350万平方米
∵第6年可解决20万人住房问题，
∴人均住房为：400÷20=20平方米．
由题意：20×（1-1.35a%）×20×（1+a%）=350，
设a%=m，化简为：54m²+14m-5=0，
△=14²-4×54×（-5）=1276，
∴m=

-14± 1276

2×54

=

-7± 319

54

∵

319

≈17.8，
∴m₁=0.2，m2=-

62

135

（不符题意，舍去），
∴a%=0.2，
∴a=20
答：a的值为20．
解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴

k+b=50 2k+b=52

·

k=2 b=48

，
∴z=2x+48．

（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W₁百万元，则
W₁=（-

1

6

x+5）·（2x+48）
=-

1

3

x2+2x+240
∵对称轴x=-

b

2a

=3，而1≤x≤6
∴当x=3时，W₁最大=243（百万元）
当7≤x≤10时，设收取的租金为W₂百万元，则
W₂=（-

1

8

x+

19

4

）·（2x+48）
=-

1

4

x2+

7

2

x+228
∵对称轴x=-

b

2a

=7，而7≤x≤10
∴当x=7时，W₂最大=

961

4

（百万元）
∵243＞

961

4

∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．

（3）当x=6时，y=-

1

6

×6+5=4百万平方米=400万平方米
当x=10时，y=-

1

8

×10+

19

4

=3.5百万平方米=350万平方米
∵第6年可解决20万人住房问题，
∴人均住房为：400÷20=20平方米．
由题意：20×（1-1.35a%）×20×（1+a%）=350，
设a%=m，化简为：54m²+14m-5=0，
△=14²-4×54×（-5）=1276，
∴m=

-14± 1276

2×54

=

-7± 319

54

∵

319

≈17.8，
∴m₁=0.2，m2=-

62

135

（不符题意，舍去），
∴a%=0.2，
∴a=20
答：a的值为20．