试题

题目：
如图：△ABC中，D为BC上一动点，BE⊥AD延长线于E，CF⊥AD于F，M是BC的中点，当D与M重合如图②时，试说明ME=MF．当D运动到如图①位置时，这个结论是否成立，说明理由．
青果学院
答案
青果学院解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠E=∠CFM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BEM≌△CHM（AAS），
∴ME=MF．

延长EM交FC于H．
因为BE⊥AE，CF⊥AE，可知BE∥FC．
易证△BEM≌△CHM，可得EM=MH，
又∠EFH=90°．
∴FM=
1
2
EH=EM．
青果学院解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠E=∠CFM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BEM≌△CHM（AAS），
∴ME=MF．

延长EM交FC于H．
因为BE⊥AE，CF⊥AE，可知BE∥FC．
易证△BEM≌△CHM，可得EM=MH，
又∠EFH=90°．
∴FM=
1
2
EH=EM．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
图②根据AAS证明△BEM≌△CHM即可得出结论；
图①延长EM交CF于H，通过证明△EBM≌△HCM（ASA）得出EM=MH，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质：在应用全等三角形的判定时，必要时添加适当辅助线构造三角形；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．本题关键是添加辅助线找到中间线段MN．
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