试题

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC边上的中点，DE⊥DF，AD与EF相交于点G．
（1）试判断∠AGF与∠AED的大小关系，证明你的结论．
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

（1）∠AGF=∠AED，
证明：∵AB=AC，∠BAC=90，点D是BC边上的中点，三线合一，
∴BD=AD，∠B=∠DAF，BD⊥AD，
又∴DE⊥DF，
根据等角的余角相等，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∴△DEF等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
又∵∠AGF=∠EAG+∠AEG，∠EAG=∠DEF=45°，
∴∠AGF=∠DEF+∠AEG=∠AED；

（2）解：由（1）得AB=AC=BE+CF=12+5=17，
∴AE=5，AF=12，
根据勾股定理得EF=13，
又∵△DEF等腰直角三角形，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

，
=

169

4

．
（1）∠AGF=∠AED，
证明：∵AB=AC，∠BAC=90，点D是BC边上的中点，三线合一，
∴BD=AD，∠B=∠DAF，BD⊥AD，
又∴DE⊥DF，
根据等角的余角相等，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∴△DEF等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
又∵∠AGF=∠EAG+∠AEG，∠EAG=∠DEF=45°，
∴∠AGF=∠DEF+∠AEG=∠AED；

（2）解：由（1）得AB=AC=BE+CF=12+5=17，
∴AE=5，AF=12，
根据勾股定理得EF=13，
又∵△DEF等腰直角三角形，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

，
=

169

4

．