试题

（2013·平遥县模拟）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AB=3，AD：BD=1：2，求CD的长．

（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，
∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠B=45°，AC=BD，
∴∠CAD=∠CAO+∠BAO=45°+45°=90°，
∵AB=3，AD：BD=1：2，
∴AD=3×

1

1+2

=1，BD=3×

2

1+2

=2，
在Rt△ACD中，CD=

AC2+AD2

=

22+12

=

5

．
（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，
∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠B=45°，AC=BD，
∴∠CAD=∠CAO+∠BAO=45°+45°=90°，
∵AB=3，AD：BD=1：2，
∴AD=3×

1

1+2

=1，BD=3×

2

1+2

=2，
在Rt△ACD中，CD=

AC2+AD2

=

22+12

=

5

．