试题

（2013·保定一模）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1
求证：AE=CD，AE⊥CD．
证明：延长CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∵

∠ABE=∠CBD=90° AB=BC BE=DB

∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；
（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．

解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，

AB=BC ∠ABE=∠DBC BE=BD

∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=

1

k

CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴

AB

BC

=

BE

BD

=

1

k

，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴

AE

CD

=

AB

BC

=

1

k

，∠EAB=∠DCB，
∴AE=

1

k

CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．
解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，

AB=BC ∠ABE=∠DBC BE=BD

∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=

1

k

CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴

AB

BC

=

BE

BD

=

1

k

，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴

AE

CD

=

AB

BC

=

1

k

，∠EAB=∠DCB，
∴AE=

1

k

CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．