试题

（2012·顺义区一模）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；
（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

解：（1）如图2，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE=DE；

（2）如图3．
猜想：BE=DE．
证明：取AB的中点F，连接EF．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠1=60°，CF=AF=

1

2

AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC=AF　  ①
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2=60°，AD=AE   ②
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
即∠CAD=∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）． 
∴∠ACD=∠AFE=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE．