试题

（2012·南京二模）已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．
（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=时，四边形BCDP是矩形；
（2）将点B绕点E逆时针旋转．
①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；
②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．

解：（1）∵四边形BCDF是矩形，
∴DP=BC=6，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE=

1

2

BC=3，
∴EP=6-3=3，
故答案为：3；

（2）①∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
∵根据旋转的性质可得，BE=EF，
∴BE=EF=AE，
在△BEF中，∠BEF=α°，可得∠EBF=∠BFE=

1

2

（180°-α°）=90°-

1

2

α°，
在△AEF中，可得∠EAF=∠AFE=

1

2

∠FEB=

1

2

α°，
∴∠BFE+∠AFE=90°-

1

2

α°+

1

2

α°=90°，
∴△ABF是直角三角形；

②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠EDC=90°，
∵∠C=90°，EK⊥BC，GM⊥DE，
∴∠M=∠EKB═90°，EK∥DC，
∴∠MEK=∠EDC=90°，
∴∠MEB+∠BEK=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEM+∠MEB=90°，
∴∠GEM=∠BEK，
∵将点B绕点E逆时针旋转到G，
∴EG=BE，
在△GME和△BKE中
∵

∠M=∠EKB ∠GEM=∠BEK EG=BE

，
∴△GME≌△BKE（AAS），
∴GM=BK，
∵∠C=∠EKC=∠EDC=90°，
∴四边形DCKE是矩形，
∴DE=CK=3，
∴GM=BK=6-3=3，
∴△DEG的面积为

1

2

DE×GM=

1

2

×3×3=

9

2

．