试题

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；
（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）

（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
∵DE平分∠ADC∠A=90°，
∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；

（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠EDC=

1

2

∠ADC，∠ECD=

1

2

∠BCD
∴∠EDC+∠ECD=90°
∴∠DEC=90°
∴S_△DEC=

1

2

DE×CE=

1

2

×15×20=150，
∵在Rt△ADE和Rt△FDE中

AE=EF DE=DE

，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
在Rt△BCE和Rt△FCE中

EC=EC EB=FE

，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），
∴S_{四边形ABCD}=2S_△DEC=300；

（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，
∴AD+BC=CD，
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB，
由（2）知S_梯形ABCD=300，
∴

1

2

（AD+BC）×AB=300，
∴CD=25．
（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
∵DE平分∠ADC∠A=90°，
∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；

（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠EDC=

1

2

∠ADC，∠ECD=

1

2

∠BCD
∴∠EDC+∠ECD=90°
∴∠DEC=90°
∴S_△DEC=

1

2

DE×CE=

1

2

×15×20=150，
∵在Rt△ADE和Rt△FDE中

AE=EF DE=DE

，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
在Rt△BCE和Rt△FCE中

EC=EC EB=FE

，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），
∴S_{四边形ABCD}=2S_△DEC=300；

（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，
∴AD+BC=CD，
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB，
由（2）知S_梯形ABCD=300，
∴

1

2

（AD+BC）×AB=300，
∴CD=25．