试题

已知：如图，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD．求证：∠ABC=120°-∠BAD．

证明：连接AC，过点D作AC的垂线，垂足为点M，延长MD交AB于E，连接EC．
∵AD=DC，DM⊥AC，
∴DM平分AC，
∴DM为AC的中垂线，
∵E在MD上，
∴AE=CE．
在△DCE与△DAE中，

CE=AE CD=AD DE=DE

，
∴△DCE≌△DAE，
∴∠DCE=∠DAE，∠DEC=∠DEA，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCE=∠DCE=∠DAE．
在△DCE与△BCE中，

DC=BC ∠DCE=∠BCE CE=CE

，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC，
又∵∠DEC+∠DEA+∠BEC=180°，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC=60°，
∵∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE，
∴∠ABC=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD．
即∠ABC=120°-∠BAD．
证明：连接AC，过点D作AC的垂线，垂足为点M，延长MD交AB于E，连接EC．
∵AD=DC，DM⊥AC，
∴DM平分AC，
∴DM为AC的中垂线，
∵E在MD上，
∴AE=CE．
在△DCE与△DAE中，

CE=AE CD=AD DE=DE

，
∴△DCE≌△DAE，
∴∠DCE=∠DAE，∠DEC=∠DEA，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCE=∠DCE=∠DAE．
在△DCE与△BCE中，

DC=BC ∠DCE=∠BCE CE=CE

，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC，
又∵∠DEC+∠DEA+∠BEC=180°，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC=60°，
∵∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE，
∴∠ABC=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD．
即∠ABC=120°-∠BAD．