试题

已知直角△ABC中∠B=90°，延长BC到D，使CD=AB，过D作BD的垂线，在这个垂线上截取DE=BC．求证：AC⊥EC．

证明：∵ED⊥BD（已知），
∴∠D=90°（垂直的定义）．
在△CDE和△ABC中，∵∠D=∠B，CD=AB，DE=BC（已知），
∴△CDE≌△ABC（SAS），（1分）
∠A=∠ECD（全等三角形的对应角相等）．（1分）
在RT△ABC中，∠B=90°（已知），
∴∠A+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），（1分）
∴∠ECD+∠ACB=90°（等量代换），
∴∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=90°（平角的定义），（1分）
∴AC⊥EC（垂直的定义）．（1分）
证明：∵ED⊥BD（已知），
∴∠D=90°（垂直的定义）．
在△CDE和△ABC中，∵∠D=∠B，CD=AB，DE=BC（已知），
∴△CDE≌△ABC（SAS），（1分）
∠A=∠ECD（全等三角形的对应角相等）．（1分）
在RT△ABC中，∠B=90°（已知），
∴∠A+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），（1分）
∴∠ECD+∠ACB=90°（等量代换），
∴∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=90°（平角的定义），（1分）
∴AC⊥EC（垂直的定义）．（1分）