试题

如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．
（1）求证：BE=DC；
（2）求∠BOD的度数；
（3）求证：OA平分∠DOE．

（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴

1

2

·BE·AM=

1

2

·DC·AN
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE．
（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴

1

2

·BE·AM=

1

2

·DC·AN
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE．