试题

题目：
青果学院△ABC中，BE，CF是高，相交于M，BM=AC，延长CF到N，使CN=AB，试猜想AM与AN有怎样的位置和大小关系？并证明你的结论．
答案
解：AM=AN且AM⊥AN．理由如下：

∵BE，CF是高，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠ACF，

∴∠ABE=∠ACF，

在△ABM和△NCA中，

AB=NC
∠ABM=∠NCA
BM=CA
，
∴△ABM≌△NCA（SAS），

∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，

而∠CNA+∠NAF=90°，

∴∠NAF+∠BAM=90°，

∴AM⊥AN．
解：AM=AN且AM⊥AN．理由如下：

∵BE，CF是高，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠ACF，

∴∠ABE=∠ACF，

在△ABM和△NCA中，

AB=NC
∠ABM=∠NCA
BM=CA
，
∴△ABM≌△NCA（SAS），

∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，

而∠CNA+∠NAF=90°，

∴∠NAF+∠BAM=90°，

∴AM⊥AN．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
由于BE，CF是高，则∠AEB=∠AFC=90°，根据等角的余角相等得到∠ABE=∠ACF，然后根据“SAS”可判断△ABM≌△NCA，则AM=AN，∠BAM=∠CNA，

由于∠CNA+∠NAF=90°，则∠NAF+∠BAM=90°，所以AM⊥AN．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
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