试题

题目：
青果学院如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∠1=∠2．
（1）△ABC和△CDE全等吗？请说明理由；
（2）判断△ACE的形状？并说明理由．
答案
解：（1）∵∠1=∠2，
∴AC=CE．
∵AB⊥BD，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
AB=CD
AC=EC
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE （HL）；

（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠ACB=∠DEC．
又∵∠D=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°．
又∵AC=EC
∴△ACE是等腰直角三角形．
解：（1）∵∠1=∠2，
∴AC=CE．
∵AB⊥BD，ED⊥CD，
∴∠B=∠D=90°．
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
AB=CD
AC=EC
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE （HL）；

（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠ACB=∠DEC．
又∵∠D=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°．
又∵AC=EC
∴△ACE是等腰直角三角形．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
（1）由垂直得直角：∠B=∠D=90°，由“等角对等边”证得AC=EC；然后根据全等三角形的判定定理HL证得结论；
（2）由（1）中的全等三角形的对应角相等和余角的定义得到：∠ACB=∠DEC、∠ACE=90°；又AC=EC，所以△ACE是等腰直角三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
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