试题

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．
（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，
∵DE⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BDF=45°，
∵BF∥AC，∴∠FBD+∠ACB=180°，
∴∠FBD=90°，∴∠BFD=45°，即BD=BF，
∴△BDF是等腰直角三角形．

（2）AD=CF且AD⊥CF，
证明：∵AC=BC，BF=BD=CD，∠ACB=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△CBF，
∴AD=CF．
∴∠CAD=∠BCF，
又∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠ECF+∠CDG=90°，
∴∠CGD=90°，
∴AD⊥CF．
证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，
∵DE⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BDF=45°，
∵BF∥AC，∴∠FBD+∠ACB=180°，
∴∠FBD=90°，∴∠BFD=45°，即BD=BF，
∴△BDF是等腰直角三角形．

（2）AD=CF且AD⊥CF，
证明：∵AC=BC，BF=BD=CD，∠ACB=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△CBF，
∴AD=CF．
∴∠CAD=∠BCF，
又∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠ECF+∠CDG=90°，
∴∠CGD=90°，
∴AD⊥CF．