试题

如图，△ABC是正三角形，AB=4cm，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的动点，且AD=BE=CF．
（1）试说明：△DEF是正三角形；
（2）当DF⊥AC时，求AD的长；
（3）当△DEF的面积为

3

cm²时，求AD的长．

（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°；
由AD=BE=CF可得出：BD=AF=CE，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF
∴△DEF是正三角形，

（2）解：设AF=x，在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2x，
又∵AF+CF=AC
∴3x=4，x=

4

3

，即AD=

8

3

，

（3）解：作DM⊥EF于点M，过D作DN⊥AC于N，设AD=x，
∵∠A=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=

1

2

x，DN=

3

2

x，
则NF=4-x-

1

2

x=4-

3

2

x，

当△DEF的面积为

3

cm²时，
有面积公式：

3

=

1

2

DE·DM=

1

2

DE·DFsin60°，
又∵DE=DF，
∴解得DE=2=DF，
在Rt△DFN中，由勾股定理得：2²=（

3

2

x）²+（4-

3

2

x）²
x=2，
∴AD=2．
故AD=2．
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°；
由AD=BE=CF可得出：BD=AF=CE，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF
∴△DEF是正三角形，

（2）解：设AF=x，在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2x，
又∵AF+CF=AC
∴3x=4，x=

4

3

，即AD=

8

3

，

（3）解：作DM⊥EF于点M，过D作DN⊥AC于N，设AD=x，
∵∠A=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=

1

2

x，DN=

3

2

x，
则NF=4-x-

1

2

x=4-

3

2

x，

当△DEF的面积为

3

cm²时，
有面积公式：

3

=

1

2

DE·DM=

1

2

DE·DFsin60°，
又∵DE=DF，
∴解得DE=2=DF，
在Rt△DFN中，由勾股定理得：2²=（

3

2

x）²+（4-

3

2

x）²
x=2，
∴AD=2．
故AD=2．