试题

如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，使角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
①当MN∥BC时，求证：MN=BM+CN；
②当MN与BC不平行时，则①中的结论还成立吗？为什么？
③若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图③中画出图形，并说明理由．

证明：①∵△ABC是正三角形，MN∥BC，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，
则BM=NC，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
∵在△BDM和△CDN中，

BM=NC ∠MBD=∠DCN BD=DC

∴△BDM≌△CDN（SAS），
∴DM=DN，∠BDM=∠CDN，
∵∠MDN=60°，
∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，
∴NC=BM=

1

2

DM=

1

2

MN，
∴MN=MB+NC；

②成立．理由如下：
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∵在Rt△DCE和Rt△DBM中，

BD=CD BM=EC

，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
∵在△DMN和△DEN中

DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴BM+CN=NM．

③MN=CN-BM
证明：在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∵在△BMD和△CED中，

CE=BM ∠MBD=∠DCE BD=CD

，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
∵在△MDN和△EDN中，

ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED

，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
证明：①∵△ABC是正三角形，MN∥BC，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，
则BM=NC，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
∵在△BDM和△CDN中，

BM=NC ∠MBD=∠DCN BD=DC

∴△BDM≌△CDN（SAS），
∴DM=DN，∠BDM=∠CDN，
∵∠MDN=60°，
∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，
∴NC=BM=

1

2

DM=

1

2

MN，
∴MN=MB+NC；

②成立．理由如下：
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∵在Rt△DCE和Rt△DBM中，

BD=CD BM=EC

，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
∵在△DMN和△DEN中

DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴BM+CN=NM．

③MN=CN-BM
证明：在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∵在△BMD和△CED中，

CE=BM ∠MBD=∠DCE BD=CD

，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
∵在△MDN和△EDN中，

ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED

，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．