试题

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

（1）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．
∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABG=∠DAE．
再证：△DAE≌△ABG
∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．
延长MA交DE于H，
∵∠BAG+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．
∵在△FAB和△EAD中，

FA=AE ∠BAF=∠EAD BA=DA

∴△FAB≌△EAD（SAS）
∴BF=DE，∠F=∠AEN，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．
∴FB⊥DE．
又∵CA=AF，CM=MB．
∴AM∥FB，且AM=

1

2

FB，
∴AM⊥DE，AM=

1

2

DE．