试题

已知平面内有n（n≥3，且n为整数）个点，其中无任何三点在同一条直线上．过其中任意两点画线段，可得a_n条线段；以其中任意三点为顶点画三角形，可得b_n个三角形．

（1）请你依照题意，在图③、图④中完成作图；
（2）观察图形，完成下表：

n	3	4	5	6
示意图	图①	图②	图③	图④
an	3	6
bn	1	4

（3）照此规律，a_n=；b_n-b_n-1=．

解：（1）根据题意是顺次连接所有的点得到多边形，如图：

（2）如下表：

n	3	4	5	6
示意图	图①	图②	图③	图④
an	3	6	10	15
bn	1	4	10	20

（3）平面上有n个点，每个点和除自身外的n-1个点可以连线，但每条线都重复两次，故a_n=

n(n-1)

2

；
平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种方法，取第二个点有B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，
所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，
故应除以6，
即b_n=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴b_n-b_n-1=

n(n-1)(n-2)

6

-

(n-1)(n-2)(n-3)

6

=

(n-1)(n-2)

2

．