试题

题目：
青果学院在一次数学活动中，爱动脑筋的小华同学设计了一个几何模型：将一个面积为1的正方形按照图示进行分割．研究发现，图中蕴含着一个美妙的数量关系．
（1）请计算
1
3
+
1
32
+
1
33
+
1
34
+
1
35
的值；
（2）观察几何模型的结构特征，请猜想
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
的计算结果（用含n的代数式表示）．
答案
解：（1）原式=
81
243
+
27
243
+
9
243
+
3
243
+
1
243

=
121
243
；

（2）由图形的对称性可知：2（
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
）+
1
3n
=1，
所以原式=
1
2
（1-
1
3n
）．
解：（1）原式=
81
243
+
27
243
+
9
243
+
3
243
+
1
243

=
121
243
；

（2）由图形的对称性可知：2（
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
）+
1
3n
=1，
所以原式=
1
2
（1-
1
3n
）．
考点梳理
规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．
（1）通分后即可计算；
（2）利用图形的对称性可以得到答案．
本题考查了图形的变化类问题，解决此类题目的关键是弄懂图形的意思，并从图形中找到变化的规律．
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