试题

阅读下面的文字，回答后面的问题．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
解：令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴S=

3101-3

2

问题（1）求2+2²+…+2¹⁰⁰的值；
（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去…一直作图到第10个图形为止．已知正方形ABCD的边长为1，求所有的正方形的所有边长之和．

解：（1）∵S=2+2²+…+2¹⁰⁰①，
∴2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
由②-①：S=2¹⁰¹-2；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3⁴⁰①，将等式两边提示乘以3得到：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3⁴¹②，
②-①得到：2S=3⁴¹-1，
∴S=

341-1

2

．
∴4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）=2（3⁴¹-1）；

（3）所有的正方形的所有边长之和为4×[1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹]，
令S=1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹①、

2

S=

2

+（

2

）²+…+（

2

）¹⁰②，
②-①得到：（

2

-1）S=32-1=31，S=31×（

2

+1）．
故所有的正方形的所有边长之和为4×31×（

2

+1）=124

2

+124．
解：（1）∵S=2+2²+…+2¹⁰⁰①，
∴2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
由②-①：S=2¹⁰¹-2；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3⁴⁰①，将等式两边提示乘以3得到：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3⁴¹②，
②-①得到：2S=3⁴¹-1，
∴S=

341-1

2

．
∴4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）=2（3⁴¹-1）；

（3）所有的正方形的所有边长之和为4×[1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹]，
令S=1+

2

+（

2

）²+…+（

2

）⁹①、

2

S=

2

+（

2

）²+…+（

2

）¹⁰②，
②-①得到：（

2

-1）S=32-1=31，S=31×（

2

+1）．
故所有的正方形的所有边长之和为4×31×（

2

+1）=124

2

+124．