试题

题目：
（2008·三明）把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形；
把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形；
把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形；
…依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有
15
15
个边长是1的正六边形．
青果学院
答案
15

解：故当N=7时，
7×7-3×7+2
2
=15个．
考点梳理
规律型：图形的变化类．
分割含有边长是1的正六边形，其实你可以看个底部，要数六边形，可以看出三角形的三个顶点小三角形是不包含在内的，一开始你可以忽略它们，而底部每个小三角形都由一个正六边形所独有的底三角形，当大的正三角形边长为N时，所以底部有六边形有N-2个，上一层的两个顶点小三角形又可以忽略，而第二层有小三角形N-1个，所以第二层有六边形有N-1-2个，即N-3个，如此类推，再上几层就是N-4，N-5，N-6个，一直到从上数下第三层，再上一层的三角形已经不能再当六边形的底了，所以到此为止，所以共有的六边形是N-2+N-3+N-4+…+2+1=[（1+N-2）（N-2）]÷2=
N×N-3N+2
2
．
此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
压轴题；规律型．
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