试题

用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为f．

（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与f之间的关系式．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	o	4	5	5	…
各边上格点的个数和f	o	4	5	5	…

答：S=．
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和f之间的关系式是：S=．
（o）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与f有怎样的关系？答：S=．

解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	h	4	5	6	…
各边三格点的个数和x	h	4	5	6	…

答根据以三信息，多边形的面积=各边三格点个数，即S=x；

（2）根据图可知：

正方形的面积是8，它的各边三格点的个数和x是6，中间格点数是2，
8=6+2；
三角形的面积是5，它的各边三格点的个数和x是h，中间格点数是2，
5=h+2；
五边形的面积是7，它的各边三格点的个数和x是5，中间格点数是2，
7=5+2；
那么S=x+2；

（h）通过三题探究可知：
最后的1就是内部的格点数2n-2而得；
所以格点多边形面积=各边三格点的个数和×+（多边形内部格点数的2被-2）；即：
S=x+（2n-2）；